Les puissances de 10#
Introduction aux puissances de \(10\)#
Les puissances de \(10\) forment la base de la notation scientifique, permettant une représentation simplifiée des nombres très grands ou très petits. Une puissance de \(10\) est exprimée comme \(10^{n}\), où \(n\) est un entier. Lorsque \(n\) est positif, la puissance indique combien de fois le nombre \(10\) est multiplié par lui-même. Par exemple, \(10^{n}\) signifie \(10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\). Inversement, quand \(n\) est négatif, cela indique une division répétée par \(10\), comme \(10^{-3} = \frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10} = \frac{1}{1000}\).
Pourquoi utiliser les puissances de \(10\) ?#
Les puissances de \(10\) simplifient l’écriture et la lecture de nombres extrêmes. Elles sont cruciales en science pour exprimer des grandeurs comme les distances astronomiques ou la taille des particules subatomiques. Par exemple, la distance de la Terre au Soleil est d’environ \(150\) millions de kilomètres, ou \(1.5 \cdot 10^{8}\) km, et le diamètre d’un atome est d’environ \(1 \cdot 10^{-10}\) mètres.
Exemples dans la vie quotidienne et en science#
Les puissances de \(10\) ne se limitent pas aux laboratoires ou aux contextes astronomiques. Elles sont également présentes dans notre quotidien. Par exemple, la population mondiale est d’environ \(7.8\) milliards, ou \(7.8 \cdot 10^{9}\) personnes. En biologie, le nombre d’E. coli dans un intestin humain sain peut atteindre \(1 \cdot 10^{14}\).
Multiplication des puissances de \(10\)#
La multiplication des puissances de \(10\) est régie par une règle simple :
Important
Lorsque vous multipliez deux puissances de \(10\), vous additionnez leurs exposants.
Par exemple, \(10^{3} \cdot 10^{2} = 10^{3+2} = 10^{5}\). Cette règle simplifie grandement le calcul avec des nombres très grands ou très petits.
Division des puissances de \(10\)#
Pour la division, la règle est également simple mais inversée :
Important
Lorsque vous divisez deux puissances de 10, vous soustrayez l’exposant du diviseur à celui du dividende.
Ainsi, \(10^{5} \div 10^{2} = 10^{5-2} = 10^{3}\).
Exercices pratiques
Calculer :
\(10^{4} \cdot 10^{3}\)
\(10^{-2} \cdot 10^{5}\)
\(10^{-3} \cdot 10^{-6}\)
\(10^{6}\div 10^{4}\)
\(10^{-3}\div 10^{7}\)
\(10^{2}\div 10^{-6}\)
solution
\(10^{4} \cdot 10^{3}=10^{4+3}=10^{7}\)
\(10^{-2} \cdot 10^{5}=10^{(-2)+5}=10^{3}\)
\(10^{-3} \cdot 10^{-6}=10^{(-3)+(-6)}=10^{-9}\)
\(10^{6} \div 10^{4}=10^{6-4}=10^{2}\)
\(10^{-3} \div 10^{7}=10^{(-3)-7}=10^{-10}\)
\(10^{2} \div 10^{-6}=10^{2-(-6)}=10^{8}\)
Simplification des expressions#
Simplifier les expressions impliquant des puissances de \(10\) permet de les rendre plus compréhensibles et facilite les calculs ultérieurs, surtout dans des situations scientifiques. Par exemple, \(2 \cdot 10^4 \cdot 5 \cdot 10^3\) peut être simplifié en \(10 \cdot 10^7 = 10^8\).
Exercices pratiques
Simplifier \(3 \cdot 10^{2} \cdot 2 \cdot 10^{3}\)
Réduire l’expression \(4 \cdot 10^{-4} \div 2 \cdot 10^{2}\)
solution
\(3 \cdot 10^{2} \cdot 2 \cdot 10^{3}=(3\cdot 2)\cdot (10^{2}\cdot 10^{3})=6\cdot 10^{5}\)
\(4 \cdot 10^{-4} \div 2 \cdot 10^{2}=(4 \div 2)\cdot (10^{2} \div 10^{3})=2 \cdot 10^{-1}\)
Application des puissances de \(10\) dans la résolution de problèmes#
Les puissances de \(10\) ne sont pas seulement des outils mathématiques ; elles permettent également de résoudre des problèmes concrets, comme calculer la distance en mètres entre deux villes en utilisant la notation scientifique pour exprimer des distances en kilomètres, ou estimer le nombre de cellules dans le corps humain.
Problèmes à résoudre
Si une cellule mesure environ \(10^{-6}\) mètres et qu’un corps humain contient environ \(10^{13}\) cellules, quelle est la longueur totale des cellules mises bout à bout ?
Convertir une distance de \(300'000\) kilomètres en notation scientifique et exprimer cette distance en mètres.
solution
la longueur totale des cellules est de \(10^{-6}\cdot 10^{13}=10^{7}\,m=10'000\,km\)
\(300'000\,km=3\cdot 10^{5}\,km=3\cdot 10^{8}\,m\)
Questions conceptuelles#
Questions 1
Comment calculer le produit de \(10^{6}\) et \(10^{4}\) ?
réponse
Additionnez les exposants : \(10^{6+4} = 10^{10}\)
Questions 2
Quel est le résultat de \(10^{5} \div 10^{2}\) ?
réponse
Soustrayez les exposants : \(10^{5-2} = 10^{3}\).
Questions 3
Comment simplifieriez-vous l’expression \(4 \cdot 10^{3} \cdot 2.5 \cdot 10^{2}\) ?
réponse
Multipliez les coefficients et additionnez les exposants : \(10 \cdot 10^{3+2} = 10 \cdot 10^{5} = 10^{6}\).
Questions 4
Pourquoi est-il utile de convertir les distances ou les tailles en notation scientifique ?
réponse
La notation scientifique permet de simplifier le calcul et la compréhension de nombres très grands ou très petits, rendant les comparaisons et les calculs plus accessibles.