5.4. Exercices

Exercice 1

1. En prenant la pente de la courbe du graphique \(X(t)\), vérifiez que la vitesse de la voiture à réaction est de \(115\,m/s\) à \(t=20.0\,s\).

2. En prenant la pente de la courbe du graphique \(v(t)\), vérifiez que l’accélération de la voiture à réaction est \(5.0\,m/s^{2}\).

solution

1. On prend les points juste avant et juste après \(20.0\,s\) : \(A=(15.0\,s; 1000\,m)\) et \(B=(25.0\,s; \sim 2250\,m)\),

   alors :

   \(\text{pente}=v=\dfrac{x_{B}-x_{A}}{t_{B}-t_{A}}=\dfrac{2250\,m-1000\,m}{25\,s-15\,s}=\dfrac{1250\,m}{10\,s}=125\,m/s\simeq 115\,m/s\)

2. On prend les points \(C=(5.0\,s; \sim 40.0\,m/s)\) et \(D=(30.0\,s; \sim 170\,m/s)\)

   alors,

   \(\text{pente}=a=\dfrac{v_{D}-v_{C}}{t_{D}-t_{C}}=\dfrac{170\,m/s-40.0\,m/s}{30.0\,s-5.0\,s}=\dfrac{130\,m/s}{25.0\,s}=5.2\,m/s^{2}\simeq 5.0\,m/s^{2}\)

Exercice 2

À l’aide de valeurs approximatives, calculez la pente de la courbe de la figure ci-dessous pour vérifier que la vitesse à \(t=30.0\,s\) est d’environ \(0.24\,m/s\). Supposons que toutes les valeurs sont connues à 2 chiffres significatifs.

solution

On prend les points \(A=(20\,s; \sim 7.5\,m)\) et \(B=(50\,s; \sim 15\,m)\).

On a donc : \(\text{pente}=v=\dfrac{x_{B}-x_{A}}{t_{B}-t_{A}}=\dfrac{15\,m-7.5\,m}{50\,s-20\,s}=\dfrac{7.5\,m}{30\,s}=0.25\,m/s\simeq 0.24\,m/s\)

Exercice 3

En prenant la pente de la courbe de la figure ci-dessous, vérifiez que l’accélération est \(3.2\,m/s^{2}\) à \(t=10.0\,s\).

solution

On prend les points \(A=(0.0\,s; \sim 160\,m/s)\) et \(B=(20.0\,s; \sim 225\,m/s)\)

alors

\(\text{pente}=a=\dfrac{v_{B}-v_{A}}{t_{B}-t_{A}}=\dfrac{225\,m/s-160\,m/s}{20.0\,s-0.0\,s}=\dfrac{65\,m/s}{20.0\,s}=3.25\,m/s^{2}\simeq 3.2\,m/s^{2}\)

Exercice 4

1. Prenez la pente de la courbe \(x(t)\) des figures ci-dessous pour trouver la vitesse du jogger à \(t=2.5\,s\).

2. Répétez à \(t=7.5\,s\). Ces valeurs doivent être cohérentes avec le graphique de \(v(t)\).

solution

1. On prend les points \(A=(0.0\,s; 0\,m)\) et \(B=(2.5\,s; \sim 10.0\,m)\)

   On a donc : \(\text{pente}=v=\dfrac{x_{B}-x_{A}}{t_{B}-t_{A}}=\dfrac{10.0\,m-0.0\,m}{2.5\,s-0\,s}=\dfrac{10.0\,m}{2.5\,s}=4.0\,m/s\)

   La courbe \(v(t)\) nous donne également une vitesse \(v=4.0\,m/s\)

2. La courbe est assez symétrique entre 0 et \(10\,s\)

   la vitesse à \(t=7.5\,s\) est opposée à la vitesse à \(t=2.5\,s\).

   On a donc \(v=-4.0\,m/s\), ce qui est confirmé par le graphique \(v(t)\).

Exercice 5

Un graphique de \(v(t)\) est présenté pour un sprinter sur piste de classe mondiale dans une course de \(100\,m\). (Voir la figure ci-dessous).

1. Quelle est sa vitesse moyenne pendant les 4 premières \(s\) ?

2. Quelle est sa vitesse instantanée à \(t=5\,s\) ?

3. Quelle est son accélération moyenne entre 0 et \(4\,s\) ?

4. Quel est son temps pour la course ?

solution

1. \(v_{moy}=\dfrac{v_{1}+v_{2}}{2}=\dfrac{12\,m/s+0\,m/s}{2}=6\,m/s\)

2. \(v_{5\,s}=12\,m/s\)

3. \(a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{12\,m/s-0\,m/s}{4\,s-0\,s}=3\,m/s^{2}\)

4. \(t_{tot}=10\,s\)

Exercice 6

La figure ci-dessous montre le graphe de position d’une particule pendant \(6\,s\) :

1. Tracez le graphique de la vitesse en fonction du temps correspondant.

2. Quelle est l’accélération entre \(0\,s\) et \(2\,s\) ?

3. Qu’arrive-t-il à l’accélération à exactement \(2\,s\) ?

solution

1. Graphique \(v(t)\) :

2. La variation de position est linéaire entre 0 et \(2\,s\), donc la vitesse est constante, donc l’accélération est nulle.

3. L’accélération est infinie (pente\(=a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\infty\)), car la vitesse de l’objet change de direction (signe) de manière instantanée.