1.7. Exercices#
Les unités de mesures#
Exercice 1
La limite de vitesse sur certaines autoroutes est de \(120\,km/h\).
Quelle est cette vitesse en mètres par seconde ?
solution
\(120\div 3.6=33.3\,m/s\)
Exercice 2
Une voiture roule à une vitesse de \(33\,m/s\).
Quelle est sa vitesse en kilomètres par heure ?
Dépasse-t-elle la limite de vitesse de \(90\,km/h\) ?
solution
\(33\times 3.6=118,8\,km/h\approx 119\,km/h\)
Oui, \(108\,km/h > 90\,km/h\) !
Exercice 3
Démontrez que \(1.0\,m/s=3.6\,km/h\).
Indice : Montrez les étapes explicites impliquées dans la conversion de \(1.0\,m/s\) en \(3.6\,km/h\).
solution
On effectue les étapes suivantes :
Exercice 4
Le football américain se joue sur un terrain de \(100\,yards\) de long, sans compter les zones de but.
Quelle est la longueur du terrain en mètres ?
(Supposez que 1 mètre équivaut à 3.281 pieds et que 3 pieds équivaut à 1 yard.)
solution
\(100\, yards=300\,pieds\)
\(300\,pieds=300\div 3.281=91.4\,m\)
Exercice 5
La vitesse du son est mesurée à \(342\,m/s\) un certain jour.
Quelle est cette vitesse en \(km/h\) ?
solution
\(342\times 3.6=1231.2\,km/h\)
Exercice 6
Les plaques tectoniques sont de grands segments de la croûte terrestre qui se déplacent lentement. Supposons qu’une telle plaque parcourt en moyenne \(4,0\,cm\) en \(1\) an.
Quelle distance parcourt-elle en \(1\,s\) ?
Quelle distance parcourt-elle en \(1\) million d’années ?
solution
\(\dfrac{4\,cm}{1\,an}=\dfrac{4\cdot 10^{-2}\,m}{(1\cdot 365\cdot 24\cdot 3600)\,s}=\dfrac{4\cdot 10^{-2}\,m}{3.1536\cdot 10^{7}\,s}=1.3\cdot 10^{-9}\,m\) en \(1\) seconde.
Cette plaque parcours donc \(1.3\,nm\) en \(1\) seconde.
\(1\) million d’année \(=\times 10^{6}\) ans.
\(\dfrac{4\,cm}{1\,an}=\dfrac{4\cdot 10^{-2}\,m}{1\,an}\cdot\dfrac{1\cdot 10^6}{1\cdot 10^6}=\dfrac{4\cdot 10^{4}\,m}{1\cdot 10^{6}\,an}=\dfrac{4\cdot 10^{1}\,km}{1\,\text{million d'année}}\)
Cette plaque parcourt donc \(40\,km\) en \(1\) million d’année.
Incertitude & précision#
Exprimez vos réponses aux problèmes de cette section avec le nombre correct de chiffres significatifs et les unités appropriées.
Exercice 7
Supposons que votre balance de salle de bain indique votre masse comme étant \(65\,kg\) avec une incertitude de \(3\%\).
Quelle est l’incertitude de votre masse (en kilogrammes) ?
solution
\(\Delta =65\cdot 3\,\%=\dfrac{65\cdot 3}{100}=1.95\,kg\).
Votre masse est donc de \(65\pm 2\,kg\).
Exercice 8
Un ruban de mesure de bonne qualité peut avoir une erreur de \(0.50\,cm\) sur une distance de \(20\,m\).
Quelle est son incertitude en pourcentage ?
solution
\(\Delta_{\,\%}=\dfrac{0.50\,cm}{20\,m}=\dfrac{0.50\cdot 10^{-2}\,m}{20\,m}=0.00025=0.025\,\%\)
Exercice 9
Un compteur de vitesse de voiture a une incertitude de \(5.0\%\).
Quelle est la plage de vitesses possibles lorsqu’il indique \(90\,km/h\) ?
solution
\(\Delta =\dfrac{90\cdot 5}{100}=4.5\,km/h\).
Vous roulez donc entre \(85.5\,km/h\) et \(94.5\,km/h\).
Exercice 10
Le rythme cardiaque d’un nourrisson est mesuré à \(130\pm 5\,battements/min\).
Quelle est l’incertitude en pourcentage de cette mesure ?
solution
\(\Delta_{\,\%}=\dfrac{5}{130}=0.0385=3.8\,\%\)
Exercice 11
Supposons qu’une personne ait un rythme cardiaque moyen de \(72.0\) battements/min.
Combien de battements a-t-elle :
En \(2.0\,ans\) ?
En \(2.00\,ans\) ?
En \(2.000\,ans\) ?
solution
En \(2\) ans, il y a \(2\cdot 365\cdot 24\cdot 60=1.0512\cdot 10^{6}\,min\). ce qui donne : \(70\cdot 1.0512\cdot 10^{6}=7.3584\cdot 10^{7}\) battements. En tenant compte des chiffres significatifs on trouve alors :
En \(2.0\) ans : \(7.4\cdot 10^{7}\) battements
En \(2.00\) ans : \(7.36\cdot 10^{7}\) battements
En \(2.000\) ans : \(7.358\cdot 10^{7}\) battements
Exercice 12
Une canette contient \(375\,ml\) de soda. Combien en reste-t-il après avoir retiré \(0.308\,l\) ?
solution
\(0.375-0.308=0.067\,l=67\,ml\)
Exercice 13
Indiquez combien de chiffres significatifs sont appropriés dans les résultats des calculs suivants :
\((106.7)(98.2)\div (46.210)(1.01)\)
\((18.7)^{2}\)
\((1.60\cdot 10^{-19})(3712)\).
solution
3 chiffres significatifs
3 chiffres significatifs
3 chiffres significatifs
Exercice 14
Combien de chiffres significatifs y a-t-il dans les nombres \(50\) et \(100\) ?
Si l’incertitude dans chaque nombre est de \(\pm 1\), quelle est l’incertitude en pourcentage de chacun ?
Quelle est la manière la plus significative d’exprimer la précision de ces deux nombres, les chiffres significatifs ou les incertitudes en pourcentage ?
solution
\(2\) et \(3\) respectivement
\(2\,\%\) et \(1\,\%\)
Les incertitudes en pourcentage.
Exercice 15
Si votre compteur de vitesse a une incertitude de \(2.0\,km/h\) à une vitesse de \(90\,km/h\), quelle est l’incertitude en pourcentage ?
S’il a la même incertitude en pourcentage à une vitesse de \(60\,km/h\), quelle est la plage de vitesses possibles ?
solution
\(\dfrac{2}{90}=0.022=2.2\,\%\)
\(60\cdot 2.2\,\%=1.3\,km/h\).
Votre plage de vitesse ira de \(59\) à \(61\,km/h\)
Exercice 16
La pression artérielle d’une personne est mesurée à \(120\pm 2\,mm\,Hg\). Quelle est son incertitude en pourcentage ?
En supposant la même incertitude en pourcentage, quelle est l’incertitude dans une mesure de la pression artérielle de \(80\,mm\,Hg\) ?
solution
\(\Delta_{\,\%}=\dfrac{2}{120}=1.67\,\%\)
\(\Delta = 80\cdot 1.67\,\%=\pm 1.3\,mm\,Hg\)
Exercice 17
Une personne mesure son rythme cardiaque en comptant le nombre de battements en \(30\,s\). Si \(40\pm 1\) battements sont comptés en \(30.0\pm 0.5\,s\), quel est le rythme cardiaque et son incertitude en battements par minute ?
solution
L’incertitude sur le nombre de battement est de \(\dfrac{1}{40}=2.5\,\%\).
L’incertitude sur le temps est de \(\dfrac{0.5}{30}=1.66\,\%\).
Comme on cherche un nombre de battement divisé par un temps (battements par minute), on utilise l’addition des incertitudes relatives pour calculer l’incertitude relative sur la réponse. On a donc :
\(\Delta_{\,\%}=2.5\,\% + 1.67\,\%=4.16\,\%\)
Une incertitude \(4.2\,\%\) sur \(80\) battements (\(2\times 40\) battements en \(30\,s\)) donne \(3,3\).
Donc au final on trouve \(80\pm 3\) battements par minute.
Exercice 18
Un marathonien termine un parcours de \(42.188\,km\) en \(2\,h\,30\,min\) et \(14\,s\). Il y a une incertitude de \(25\,m\) dans la distance parcourue et une incertitude de \(1\,s\) dans le temps écoulé.
Calculez l’incertitude en pourcentage dans la distance.
Calculez l’incertitude dans le temps écoulé.
Quelle est la distance moyenne parcourue (en mètres) pendant une seconde ?
Quelle est l’incertitude sur cette distance moyenne ?
solution
On transforme d’abord le temps total en seconde :
\(2\,h\,30\,min\) et \(14\,s\) \(=(2\cdot 3600)+(30\cdot 60)+14=9014\,s\)
\(\frac{25}{42188}=0.059259\,\%\)
\(\frac{1}{9014}=0.01109\,\%\)
\(\frac{42188}{9014}=4.680\,m/s\)
\(0.059259\,\% +0.01109\,\%=0.07035\,\%\) ou \(4.680\pm 0.003\,m/s\)
Exercice 19
Les côtés d’une petite boîte rectangulaire sont mesurés à \(1.80\pm 0.01\,cm\), \(2.05\pm 0.02\,cm\), \(3.1\pm 0.1\,cm\) de long.
Calculez son volume et l’incertitude en centimètres cubes.
solution
Le volume \(V\) est calculé par : \(1.8\times 2.05\times 3.1=11.439\), donc \(V=11.4\,cm^{3}\)
L’erreur relative totale est la somme des erreurs relative de chaque dimension de la boîte. Ce qui nous donne :
\(\Delta_{\,\%}=\frac{0.01}{1.80}+\frac{0.02}{2.05}+\frac{0.1}{3.1}=0.0476=4.76\,\%\)
\(4.76\,\%\) de \(11.4\,cm^{3}\) donne \(0.542\,cm^{3}\)
Au final, on trouve donc un volume de \(V=11.4\pm 0.5\,cm^{3}\)
Exercice 20
La longueur et la largeur d’une salle rectangulaire sont mesurées à \(3.955\pm 0.005\,m\) et \(3.050\pm 0.005\,m\).
Calculez la superficie de la salle et son incertitude en mètres carrés.
solution
La surface \(S\) est calculé par : \(3.955\times 3.050=12.06275\), donc \(S= 12.06\,m^{2}\)
L’erreur relative totale est la somme des erreurs relative de chaque dimension de la salle. Ce qui nous donne :
\(\Delta_{\,\%}=\frac{0.005}{3.955}+\frac{0.005}{3.050}=0.002903=0.2903\,\%\)
\(0.2903\,\%\) de \(12.06\,m\) donne \(0.03501\,m\)
Au final, on trouve donc une surface de \(S=12.06\pm 0.04\,m^{2}\)
Exercice 21
Le moteur d’une voiture déplace un piston avec une section transversale circulaire de \(7.500\pm 0.002\,cm\) de diamètre sur une distance de \(3.250\pm 0.001\,cm\) pour comprimer le gaz dans le cylindre.
De quelle quantité le volume de gaz est-il diminué en centimètres cubes ?
Trouvez l’incertitude dans ce volume.
solution
Le volume total est donné par \(V=\pi\cdot r^{2}\cdot h\)
Donc : \(V=3.14\cdot (7.500\div 2)^{2}\cdot 3.250=143.6\,cm^{3}\)
L’erreur relative totale est la somme des erreurs relative, multipliée par leur puissance, de chaque dimension de la salle. Ce qui nous donne :
\(\Delta_{\,\%}=2\cdot \frac{0.002}{7.500}+\frac{0.001}{3.250}=0.0008410=0.08410\,\%\)
Le volume de gaz comprimé est donc de \(V=143.6\pm 0.1\,cm^{3}\)