3.4. Exercices#
Temps, vitesse et vitesse scalaire#
Exercice 1
La distance entre Lausanne et Genève est de \(65\,km\). On effectue le trajet en \(1\,h\,25\,min\). Quelle est la vitesse moyenne ?
réponse
\(1\,h\,25\,min=1.42\,h\)
\(v_{moy}=\dfrac{d}{t}=\dfrac{65}{1.42}=45.9\,km/h\)
Exercice 2
Sur un trajet de \(35\,km\), un cycliste roule avec une vitesse moyenne de \(15\,km/h\). Quelle est la durée du trajet ?
réponse
\(t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{35}{15}=2.33\,h=2\,h\,20\,min\)
Exercice 3
Un promeneur marche à \(1.2\,m/s\) pendant \(35\,min\). Quelle est la distance parcourue?
réponse
\(35\,min=2100\,s\)
\(d=v\cdot t=1.2\cdot 2100=2520\,m=2.52\,km\)
Exercice 4
Déterminer la vitesse moyenne (en \(km/h\)) d’un cycliste qui effectue un trajet de \(12\,km\) en \(48\) minutes.
réponse
\(48\,min=0.8\,h\)
\(v_{moy}=\dfrac{d}{t}=\dfrac{12}{0.8}=15\,km/h\)
Exercice 5
Calculer la vitesse moyenne (en \(m/s\)) d’une voiture sur un trajet de \(1300\,m\) effectué en \(1\,min\) et \(48\,sec\).
réponse
\(1\,min\) et \(48\,sec=108\,s\)
\(v_{moy}=\dfrac{d}{t}=\dfrac{1300}{108}=12.0\,m/s\)
Exercice 6
Un marcheur se déplace à \(3.6\,km/h\). Quelle durée (en minutes) lui faut-il pour effectuer un trajet de \(800\,m\)?
réponse
\(3.6\,km/h=1\,m/s\)
\(t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{800}{1}=800\,s=13.3\,min=13\,min\) et \(20\,s\)
Exercice 7
Un cycliste roule à \(18\,km/h\) pendant \(25\) minutes. Quelle est la distance parcourue (en \(km\))?
réponse
\(18\,km/h=5\,m/s\) et \(25\,min = 1500\,s\)
\(d=v\cdot t=5\cdot 1500=7500\,m=7.5\,km\)
Exercice 8
Un cycliste effectue la montée d’un col de \(16.0\,km\).
Il roule à \(9.0\,km/h\) de vitesse moyenne à la montée.
Quelle est la durée nécessaire pour la montée ?Il roule à \(32\,km/h\) de vitesse moyenne à la descente.
Quelle est la durée nécessaire pour la descente ?Quelle est la distance totale de la montée et la descente ?
Quelle est la durée totale de la montée et de la descente ?
Quelle est la vitesse moyenne sur l’ensemble du parcours ?
réponse
\(t=\dfrac{16\,km}{9\,km/h}=1.78\,h=1\,h\,46\,min\)
\(t=\dfrac{16\,km}{32\,km/h}=0.50\,h=30\,min\)
\(32\,km\)
\(76\,min\)
\(v_{moy}=\dfrac{32\,km}{76\,min}=\dfrac{32\,km}{1.27\,h}=25.3\,m/s\)
On remarquera que la vitesse moyenne n’est pas égale à la moyenne des vitesses ! Ceci provient du fait que le temps à la montée est beaucoup plus long qu’à la descente. La vitesse de montée a donc plus d’importance dans le calcul de la vitesse moyenne
Exercice 9
Convertir une vitesse de \(14\,m/s\) en \(km/h\).
Convertir une vitesse de \(14\,km/h\) en \(m/s\).
réponse
\(14\cdot 3.6 =50.4\,km/h\)
\(14\div 3.6=3.89\,m/s\)
Exercice 10
Remplir le tableau suivant :
Vitesse \(m/s\) |
Vitesse \(km/h\) |
Distance |
Temps |
|---|---|---|---|
\(12\,m/s\) |
\(45\,min\) |
||
\(85\,km/h\) |
\(1\,h\,55\,min\) |
||
\(30\,km/h\) |
\(8.5\,m\) |
||
\(9.5\,m/s\) |
\(5.0\,km\) |
||
\(1.5\,km\) |
\(52\,s\) |
||
\(2550\,m\) |
\(1\,h\,05\,min\) |
réponse
On trouve les réponses suivantes :
Vitesse \(m/s\) |
Vitesse \(km/h\) |
Distance |
Temps |
\(12\,m/s\) |
\(43.2\,km/h\) |
\(32.4\,km\) |
\(45\,min\) |
\(23.6\,m/s\) |
\(85\,km/h\) |
\(162.9\,km\) |
\(1\,h\,55\,min\) |
\(8.3\,m/s\) |
\(30\,km/h\) |
\(8.5\,m\) |
\(1.02\,s\) |
\(9.5\,m/s\) |
\(34.2\,km/h\) |
\(5.0\,km\) |
\(8\,min\,46\,s\) |
\(28.8\,m/s\) |
\(103.8\,km/h\) |
\(1.5\,km\) |
\(52\,s\) |
\(0.654\,m/s\) |
\(2.354\,km/h\) |
\(2550\,m\) |
\(1\,h\,05\,min\) |
Exercice 11
Calculez la vitesse scalaire moyenne de la Terre par rapport au Soleil.
Quelle est sa vitesse moyenne sur une période d’un an ?
Remarque :
La distance Terre-Soleil \(=1\) Unité Astronomique [UA] \(= 149'597'870\,km\)
réponse
\(1\,\text{an}=365\,\text{jours}=365\cdot 24\,h=8760\,h=8760\cdot 60\,\text{min}=525'600\,\text{min}=525'600\cdot 60\,s=31.536\cdot 10^{6}\,s\)
Donc \(v_{s\,moy}=\dfrac{\text{distance}}{\text{temps}}=\dfrac{2\pi{}R}{t}=\dfrac{2\pi{}\cdot 149'597'870'000\,m}{31.536\cdot 10^{6}\,s}=29'805\,m/s\cong 30\,km/s\)Sur une révolution (1 an), le déplacement est nul (on revient au point de départ), donc \(\Delta x=0\) et \(v_{moy}=0\,m/s\)
Exercice 12
Une pale d’hélicoptère tourne à exactement \(100\) tours par minute. Son extrémité est à \(5.00\,m\) du centre de rotation.
Calculez la vitesse scalaire moyenne de l’extrémité de la pale dans le cadre de référence de l’hélicoptère.
Quelle est sa vitesse moyenne sur une révolution?
réponse
\(v_{scal_{moy}}=\dfrac{\text{distance}}{\text{temps}}=\dfrac{100\cdot\text{tour}}{\text{temps}}=\dfrac{100\cdot 2\pi{}R}{1\,min}=\dfrac{100\cdot 2\pi{}\cdot 5.00\,m}{60\,s}=52.4\,m/s\)
\(v_{moy}=\dfrac{\Delta x}{t}=\dfrac{0.0\,m}{1\,min}=0.0\,m/s\)
Exercice 13
Les continents nord-américain et européen s’écartent à un rythme d’environ \(3\,cm/an\).
À ce rythme, combien de temps leur faudra-t-il pour s’éloigner de \(500\,km\) les uns des autres ?
réponse
\(t=\dfrac{\Delta x}{v}=\dfrac{500\,km}{3\,cm/an}=\dfrac{5\cdot 10^{7}\,cm}{3\,cm/an}=16.7\cdot 10^{6}\,an=16.7\) million d’années.
Exercice 14
La terre à l’ouest de la faille de San Andreas dans le sud de la Californie se déplace à une vitesse moyenne d’environ \(6\,cm/an\) au nord-ouest par rapport à la terre à l’est de la faille.
Los Angeles est à l’ouest de la faille et pourrait donc être un jour à la même latitude que San Francisco, qui est à l’est de la faille.
Dans combien de temps cela se produira-t-il si le déplacement à effectuer est de \(590\,km\) au nord-ouest, en supposant que le mouvement reste constant ?
réponse
\(t=\dfrac{\Delta x}{v}=\dfrac{590\,km}{6\,cm/an}=\dfrac{5.9\cdot 10^{7}\,cm}{6\,cm/an}=9.8\cdot 10^{6}\,an=9.8\) million d’années.
Exercice 15
Le 26 mai 1934, un train diesel en acier inoxydable profilé appelé Zephyr a établi le record mondial de vitesse sur de longues distances sans escale pour les trains.
Son trajet de Denver à Chicago a duré 13 heures, 4 minutes et 58 secondes, et a été observé par plus d’un million de personnes le long de la route. La distance totale parcourue a été de \(1633.8\,km\).
Quelle était sa vitesse moyenne en \(km/h\) et \(m/s\) ?
réponse
\(t=13\,h\,4\,min\) et \(58\,sec=(13\cdot 3600\,s)+(4\cdot 60\,s)+58\,s=47'098\,s\)
\(v_{moy}=\dfrac{1633.8\,km}{47'098\,s}=\dfrac{1633800\,m}{47'098\,s}=34.689\,m/s\)
\(34.689\,m/s\cdot 3.6=124.88\,km/h\).
Exercice 16
Le frottement des marées ralentit la rotation de la Terre. En conséquence, l’orbite de la Lune augmente de rayon à un rythme d’environ \(4\,cm/an\).
En supposant qu’il s’agit d’un taux constant, combien d’années s’écouleront avant que le rayon de l’orbite de la Lune augmente de \(3.84\cdot 10^{6}\,m\) (\(1\,\%\)) ?
réponse
\(t=\dfrac{\Delta x}{v}=\dfrac{3.84\cdot 10^{6}\,m}{4\,cm/an}\dfrac{3.84\cdot 10^{6}\,m}{4\cdot 10^{-2}\,m/an}=96.0\cdot 10^{6}\,an=96\,\) million d’années.
Exercice 17
Une étudiante s’est rendue à l’université depuis son domicile et a noté que le compteur kilométrique de sa voiture avait augmenté de \(12.0\,km\). Le trajet a duré \(18.0\,min\).
Quelle était sa vitesse scalaire moyenne ?
Si la distance en ligne droite de son domicile à l’université est de \(10.3\,km\) dans la direction \(25.0°\) au sud de l’est, quelle était sa vitesse moyenne ?
Si elle rentrait chez elle par le même chemin \(7h30\) après son départ, quelles étaient sa vitesse moyenne et sa vitesse scalaire moyenne pour tout le trajet ?
réponse
\(d=12\,km=1200\,m\) et \(t=18.0\,min=1080\,s\)
\(v_{scal_{moy}}=\frac{12000\,m}{1080\,s}=11.1\,m/s\)
\(v_{moy}=\frac{10300\,m}{1080\,s}=9.54\,m/s\).
\(v_{scal_{moy}}=\frac{12000\,m+12000\,m}{27000\,s}=0.444\,m/s\) et
\(v_{moy}=\frac{0\,m}{27000\,s}=0.0\,m/s\).
Exercice 18
La vitesse de propagation du potentiel d’action (un signal électrique) dans une cellule nerveuse dépend (inversement) du diamètre de l’axone (fibre nerveuse).
Si la cellule nerveuse reliant la moelle épinière à vos pieds mesure \(1.1\,m\) de long et que la vitesse de l’influx nerveux est de \(18\,m/s\), combien de temps faut-il au signal nerveux pour parcourir cette distance ?
réponse
\(t=\dfrac{\Delta x}{v}=\dfrac{1.1\,m}{18\,m/s}=0.061\,s=61\,ms\).
Exercice 19
Les conversations avec des astronautes sur la surface lunaire ont été caractérisées par une sorte d’écho dans lequel la voix de la personne terrestre était si forte dans le casque spatial de l’astronaute qu’elle a été captée par le microphone de l’astronaute et transmise à la Terre.
Il est raisonnable de supposer que le temps d’écho est égal au temps nécessaire pour que l’onde radio se déplace de la Terre à la Lune et retour (c’est-à-dire en négligeant les retards dans l’équipement électronique).
Calculez la distance entre la Terre et la Lune étant donné que le temps d’écho était de \(2.56\,s\) et que les ondes radio se déplacent à la vitesse de la lumière (\(3\cdot 10^{8}\,m/s\)).
réponse
\(\Delta x=v\cdot t=3\cdot 10^{8}\,m/s\cdot 2.56\,s=768\cdot 10^{6}\,m=768\cdot 10^{3}\,km\)
\(\Delta x\) est la distance pour l’aller-retour, donc \(d=\frac{1}{2}\Delta x=384\cdot 10^{3}\,km=384'000\,km\).
Exercice 20
Un joueur de rugby court \(15.0\,m\) sur le terrain de jeu en \(2.50\,s\). Il est ensuite attrapé et poussé \(3.00\,m\) vers l’arrière en \(1.75\,s\). Il s’échappe et continue tout droit sur \(21.0\,m\) en \(5.20\,s\). Calculez sa vitesse moyenne :
pour chacun des trois intervalles et
pour l’ensemble du mouvement.
réponse
\(v_{moy\,1}=\frac{15.0\,m}{2.50\,s}=6.00\,m/s\)
\(v_{moy\,2}=\frac{-3.00\,m}{1.75\,s}=-1.71\,m/s\)
\(v_{moy\,3}=\frac{21.0\,m}{5.20\,s}=4.04\,m/s\)\(v_{moy\,tot}=\frac{15.0\,m-3.00\,m+21.0\,m}{2.50\,s+1.75\,s+5.20\,s}=\frac{33\,m}{9.45\,s}=3.49\,m/s\).
Remarque : Comme les intervalles de temps \(t_1\), \(t_2\) et \(t_3\) ne sont pas les mêmes, la vitesse moyenne totale n’est pas égale à la moyenne des vitesses
Exercice 21
Le modèle planétaire de l’atome représente des électrons en orbite autour du noyau atomique comme des planètes en orbite autour du Soleil. Dans ce modèle, vous pouvez voir l’hydrogène, l’atome le plus simple, comme ayant un seul électron sur une orbite circulaire \(1.06\cdot 10^{-10}\,m\) en diamètre.
Si la vitesse scalaire moyenne de l’électron sur cette orbite est de \(2.2\cdot 10^{6}\,m/s\), calculez le nombre de tours par seconde qu’il effectue sur le noyau.
Quelle est la vitesse moyenne de l’électron ?
réponse
Un tour \(=2\pi(\text{rayon})=2\pi{}\left(\frac{\text{diamètre}}{2}\right)=2\pi{}\left(\frac{1.06\cdot 10^{-10}\,m}{2}\right)=3.33\cdot 10^{-10}\,m\).
La distance de \(2.2\cdot 10^{6}\,m\) (en \(1\,s\)) correspond à \(\frac{2.2\cdot 10^{6}\,m}{3.33\cdot 10^{-10}\,m}=6.6\cdot 10^{15}\,\text{tours}\).
La vitesse est donc de \(6.6\cdot 10^{15}\,\text{tours}/s\).Le déplacement étant nul sur une révolution, la vitesse moyenne est nulle.