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Écriture scientifique

1.1. Écriture scientifique#

Notations scientifique et d’ingénieur#

La gamme d’objets et de phénomènes étudiés en physique est immense. De la durée de vie incroyablement courte d’un noyau à l’âge de la Terre, des petites tailles de particules sous-nucléaires aux grande distance jusqu’aux bords de l’univers connu, de la force exercée par une puce sauteuse à la force entre la Terre et le soleil, les scientifiques (physiciens, astronomes, microbiologistes,…) doivent souvent écrire des nombres trop grands ou trop petits pour être écrits sous forme décimale.

Afin d’alléger et de simplifier cette écriture des nombres, les scientifiques utilisent l’écriture scientifique qui représente un nombre avec une puissance de \(10\).

Exemples

  1. \(5'300'000'000.0\, m= 5.3\cdot 10^9\, m\)

  2. \(0.000'000'000'000'987\, s= 9.87 \cdot 10^{-13}\, s\)

On définit deux notations particulières avec les puissances de \(10\) :

  1. La Notation Scientifique et

  2. La Notation d'Ingénieur

Notation scientifique

Écrire un nombre en notation scientifique, c’est exprimer une valeur numérique sous la forme :

\[a\cdot 10^{n}\]

avec : \(1\leq a< 10\) et \(n\) un nombre entier (\(n\in\mathbb{Z}\))

Notation d’Ingénieur

Écrire un nombre en notation d’ingénieur, c’est exprimer une valeur numérique sous la forme :

\[a\cdot 10^{3n}\]

avec : \(1\leq a< 1000\) et \(n\) un nombre entier (\(n\in\mathbb{Z}\))

La notation d’ingénieur est largement utilisée par les scientifiques, en raison de l’utilisation du multiple de \(3\) pour l’exposant, ce qui facilite les mesures et les changements d’unités dans le système métrique international. On représente ainsi les nombres en utilisant l’unité de base et ses sous-multiples de puissance de \(3\). Si l’unité de base est le mètre, un ingénieur représentera le résultat de sa mesure selon les règles de la notation :

  • soit en mètres

  • soit, si la valeur est petite ou très petite, en utilisant soit \(\cdot 10^{-3}\) pour les millimètres, soit \(\cdot 10^{-6}\) pour les micromètres ou encore, si la valeur est grande, \(\cdot 10^{3}\) pour les kilomètres.

Exemples de notations

  1. Pour écrire \(47'800'000.0\) en notation scientifique, il faut mettre la virgule après le premier chiffre du nombre et donc la déplacer, vers la gauche, de 7 positions.
    En notation scientifique : \(47'800'000.0=4.78\cdot 10^{7}\)

  2. Pour écrire \(47'800'000.0\) en notation d’ingénieur, il faut déplacer la virgule de trois en trois, vers la gauche, jusqu’à obtenir un nombre enter 1 et 1000, donc la déplacer de 6 positions.
    En notation d’ingénieur : \(47'800'000.0=47.8\cdot 10^{6}\)

  3. Pour écrire \(0.000 032 050\) en notation scientifique, il faut mettre la virgule après le premier chiffre du nombre et donc la déplacer, vers la droite de 5 positions.
    En notation scientifique : \(0.000 032 050=3.205\cdot 10^{-5}\)

  4. Pour écrire \(0.000 032 050\) en notation d’ingénieur, il faut déplacer la virgule de trois en trois, vers la droite, jusqu’à obtenir un nombre enter 1 et 1000, donc la déplacer de 6 positions.
    En notation d’ingénieur : \(0.000 032 050=32.05\cdot 10^{-6}\)

  5. Le nombre \(7.34\cdot 10^{4}\) est en notation scientifique mais pas en notation d’ingénieur.

  6. Le nombre \(73.4\cdot 10^{3}\) n’est pas en notation scientifique, mais en notation d’ingénieur.

  7. Le nombre \(0.734\cdot 10^{5}\) n’est ni en notation scientifique, ni en notation d’ingénieur.

  8. Le nombre \(3.205\cdot 10^{6}\) est en notation scientifique et en notation d’ingénieur.

Exemple de calcul

Donner la réponse à ce calcul en notation scientifique :

\[\dfrac{0,00072\cdot 8500}{0,012\cdot 300000}\]

solution

En notation scientifique, on obtient :

\[\begin{split}\begin{align*} \dfrac{0,00072\cdot 8500}{0,012\cdot 300000} =\dfrac{7,2\cdot 10^{-4}\cdot 8,5\cdot 10^{3}}{1,2\cdot 10^{-2}\cdot 3,0\cdot 10^{5}} & =\dfrac{7,2\cdot 8,5}{1,2\cdot 3,0}\cdot \dfrac{10^{-4}\cdot 10^{3}}{10^{-2}\cdot 10^{5}}\\ & =\dfrac{61.2}{3.6}\cdot\dfrac{10^{-4+3}}{10^{-2+5}}\\ & =17\cdot 10^{(-1)-3}\\ & =17\cdot 10^{-4}\\ & =1.7\cdot 10^{-3} \end{align*}\end{split}\]

Sur la calculatrice

La touche EE de la calculatrice Ti-30 permet de taper facilement les puissances de \(10\).

Pour écrire \(8.23\cdot 10^{-7}\) avec la calculatrice, on tape dans l’ordre: 8 \(\rightarrow\) . \(\rightarrow\) 2 \(\rightarrow\) 3 \(\rightarrow\) EE \(\rightarrow\) +/- \(\rightarrow\) 7. Il s’affiche alors \(8.23^{-07}\).

La fonction SCI, qui s’obtient en tapant 2nd et 5, permet de transformer n’importe quel nombre en notation scientifique (avec une puissance de \(10\)).
La fonction ENG, qui s’obtient en tapant 2nd et 6, permet de transformer n’importe quel nombre en notation d’ingénieur.
La fonction FLO, qui s’obtient en tapant 2nd et 4, permet de transformer n’importe quel nombre écrit avec une puissance de \(10\) en un nombre à virgule.

Effectuer avec votre calculatrice: \(1.5625\cdot 10^{-2} \times 1.024\cdot 10^{3}\) et vérifier que le résultat est bien \(16\).

Ordres de grandeur#

Lorsque l’on compare différents nombres, il est important, en sciences, de prendre en compte la taille de ces nombres. Ainsi, par exemple, à l’échelle humaine (c’est-à-dire le mètre) la vitesse de la lumière est tellement grande (\(300'000'000.0\) mètres en 1 seconde !) que le temps mis par un rayon lumineux émis par un éclair est quasi-instantané. Par contre, la vitesse du son étant beaucoup plus petite (\(340\) mètres en 1 seconde), qu’un décalage apparaît entre la foudre et le coup de tonnerre.

Ces deux vitesses ont des tailles, ou des ordres de grandeurs, différents :

  • La vitesse de la lumière est le l’ordre des centaines de millions de mètres par seconde.

  • La vitesse du son de l’ordre des centaines de mètres par secondes.

Le terme ordre de grandeur fait référence à la puissance de \(10\) lorsque les nombres sont exprimés en notation scientifique. Les grandeurs qui ont la même puissance de \(10\) lorsqu’elles sont exprimées en notation scientifique, ou qui s’en rapprochent, sont dites du même ordre de grandeur.

Ordre de Grandeur

L’ordre de grandeur d’un nombre en écriture scientifique \(a\cdot 10^{n}\) vaut :

\[\begin{split}\begin{array}{ccl} 10^{n} & \text{si} & 1\leq a<5 \\ 10^{n+1} & \text{si} & 5\leq a<10 \end{array}\end{split}\]

Astuce

Pour trouver facilement l’ordre de grandeur d’un nombre \(a\cdot 10^n\), il faut se demander si ce nombre est plus proche de \(1\cdot 10^n\) ou de \(1\cdot 10^{n+1}\) ?

Exemples :

a) \(4'000=4\cdot 10^3\) est plus proche de \(1'000\) \((=1\cdot 10^3)\) que de \(10'000\) \((=1\cdot 10^4)\). Son ordre de grandeur est donc \(10^3\)

b) \(6'000=6\cdot 10^3\) est plus proche de \(10'000\) \((=1\cdot 10^4)\) que de \(1'000\) \((=1\cdot 10^3)\). Son ordre de grandeur est donc \(10^4\)

Exemples d’ordre de grandeur

  1. L’ordre de grandeur de \(4.96\cdot 10^{6}\) est \(10^{6}\)

  2. L’ordre de grandeur de \(7.34\cdot 10^{4}\) est \(10^{5}\)

  3. L’ordre de grandeur de \(7.34\cdot 10^{-4}\) est \(10^{-3}\)

  4. L’ordre de grandeur de \(-2.3\cdot 10^{3}\) est \(10^{3}\)

  5. L’ordre de grandeur de la distance parcourue par le son en 1 seconde est la centaine de mètres, c’est-à-dire \(10^{2}\, m\)

  6. L’ordre de grandeur de la distance parcourue par la lumière en 1 seconde est la centaine de million de mètres, c’est-à-dire \(10^{2}\times 10^{6}=10^{8}\, m\)

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Quelques liens de vidéo utiles sur le même sujet :

  • Écriture scientifique d’un nombre mathématiques

  • Qu’est-ce que la notation scientifique ?

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